题目
已知双曲线x平方-y平方=2的左右焦点为F1,F2,过F2的动直线与双曲线交与A,B两点
(1)若动点M满足FM向量=F1A向量+F1B向量+F1O向量(O为坐标原点),求M的轨迹方程
(2)x轴上是否存在一点C,使CA向量*CB向量为常数?若存在,求出C
(1)若动点M满足FM向量=F1A向量+F1B向量+F1O向量(O为坐标原点),求M的轨迹方程
(2)x轴上是否存在一点C,使CA向量*CB向量为常数?若存在,求出C
提问时间:2020-06-13
答案
①∵双曲线方程:x²/2-y²/2=1
易求得
F1(-2,0) F2(2,0)
设M(x,y).A(x1,y1) B(x2,y2)
Ⅰ当过F2直线斜率不存在时
直线为x=2
A(2,√3) B(2,-√3)
FM向量=F1A向量+F1B向量+F1O向量
即(x+2,y)=(x₁+2,y₁)+(x₂+2,y₂)+(2,0)
得x=x₁+x₂+4=8
y=y₁+y₂=0
M(8,0)
Ⅰ当k存在时,设过F2的动直线为y=k(x-2).
联立y=k(x-2)
x²-y²=1
得(1-k²)x²+4k²x-4k²-2=0 (k≠±1)
x₁+x₂= -4k²/(1-k²) x₁x₂=(-4k²-2)/(1-k²)
又∵FM向量=F1A向量+F1B向量+F1O向量
即(x+2,y)=(x₁+2,y₁)+(x₂+2,y₂)+(2,0)
得x=x₁+x₂+4=-2k²/(1-k²) +4=8- 4/(1-k²)
y=y₁+y₂=k(x₁-2)+k(x₂-2)=k(x₁+x₂)-4k=-4k³/(1-k²) -4k=(-4k)/(1-k²)
即1/(1-k²)=y/(-4k)
即x=8- 4/(1-k²)=8+ y/k 得k=y/(x-8)
∴x=8- 4/(1-k²)
即x-8= -4/(1-k²)= -4/(1- y²/(x-8)²)=-4(x-8)²/((x-8)²-y²)
即1=-4(x-8)/((x-8)²-y²)
即(x-8)²-y²= -4(x-8)
化简得x²-12x-y²+32=0
综上,M点轨迹方程为x²-12x-y²+32=0
②假设存在C
令C(m,0)
CA向量*CB向量=P
则P=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂
=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+k²(x₁x₂-2(x₁+x₂)+4)
=(-4k²-2)/(1-k²)①+4mk²/(1-k²)⑤+m²+(-4k⁴-2k²)/(1-k²)②+8k⁴/(1-k²) ③+ (4k²-4k⁴)/(1-k²)④
①+②+③+④=(-4k²-2-4k⁴-2k²+8k⁴+4k²-4k⁴)/(1-k²)
=(-2-2k²)/(1-k²)=2- 4/(1-k²)
又⑤=-4m +4m/(1-k²)
∴P=m²-4m+2 +(4m-4)/(1-k²)
∵无论k为何值时(k≠±1).p为常数
∴4m-4=0
解得m=1
∴C(1,0).假设成立
易求得
F1(-2,0) F2(2,0)
设M(x,y).A(x1,y1) B(x2,y2)
Ⅰ当过F2直线斜率不存在时
直线为x=2
A(2,√3) B(2,-√3)
FM向量=F1A向量+F1B向量+F1O向量
即(x+2,y)=(x₁+2,y₁)+(x₂+2,y₂)+(2,0)
得x=x₁+x₂+4=8
y=y₁+y₂=0
M(8,0)
Ⅰ当k存在时,设过F2的动直线为y=k(x-2).
联立y=k(x-2)
x²-y²=1
得(1-k²)x²+4k²x-4k²-2=0 (k≠±1)
x₁+x₂= -4k²/(1-k²) x₁x₂=(-4k²-2)/(1-k²)
又∵FM向量=F1A向量+F1B向量+F1O向量
即(x+2,y)=(x₁+2,y₁)+(x₂+2,y₂)+(2,0)
得x=x₁+x₂+4=-2k²/(1-k²) +4=8- 4/(1-k²)
y=y₁+y₂=k(x₁-2)+k(x₂-2)=k(x₁+x₂)-4k=-4k³/(1-k²) -4k=(-4k)/(1-k²)
即1/(1-k²)=y/(-4k)
即x=8- 4/(1-k²)=8+ y/k 得k=y/(x-8)
∴x=8- 4/(1-k²)
即x-8= -4/(1-k²)= -4/(1- y²/(x-8)²)=-4(x-8)²/((x-8)²-y²)
即1=-4(x-8)/((x-8)²-y²)
即(x-8)²-y²= -4(x-8)
化简得x²-12x-y²+32=0
综上,M点轨迹方程为x²-12x-y²+32=0
②假设存在C
令C(m,0)
CA向量*CB向量=P
则P=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂
=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²+k²(x₁x₂-2(x₁+x₂)+4)
=(-4k²-2)/(1-k²)①+4mk²/(1-k²)⑤+m²+(-4k⁴-2k²)/(1-k²)②+8k⁴/(1-k²) ③+ (4k²-4k⁴)/(1-k²)④
①+②+③+④=(-4k²-2-4k⁴-2k²+8k⁴+4k²-4k⁴)/(1-k²)
=(-2-2k²)/(1-k²)=2- 4/(1-k²)
又⑤=-4m +4m/(1-k²)
∴P=m²-4m+2 +(4m-4)/(1-k²)
∵无论k为何值时(k≠±1).p为常数
∴4m-4=0
解得m=1
∴C(1,0).假设成立
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1作文“……远景图”500字
- 21“皇帝有点发抖,因为他觉得百姓们所讲的话似乎都是真的”这句话说明了什么?
- 3如何调整气割火焰
- 4石崇与王恺争豪,并穷绮丽以饰舆服.武帝,恺之甥也,每助恺,尝以一珊瑚树高二尺许赐恺,枝柯扶疏,世罕其比.恺以示崇,崇视讫,以铁如意击之,应手而碎.恺既惋惜,又以为疾己之宝,声色甚厉.崇曰:“不足恨,今
- 5三分之二X加百分之25X=6分之一解方程
- 6氧化还原反应配平_CuO+_NH4Cl===_Cu+_CuCl2+_N2+_H2Ol
- 7要得到函数y=sin2x的图像,只需把函数y=sin2x的图像_?不是说sinx要转变成cosx都要左移π/2的吗
- 8已知{an}是等比数列,a2=2,a5=14,则a1a2+a2a3+…+anan+1=( ) A.16(1-4-n) B.16(1-2-n) C.323(1-4-n) D.323(1-2-n)
- 9三年级课文赵州桥内容概要写什么?
- 10关于爱因斯坦相对论中"时间膨胀"理解
热门考点
- 1标准状况下11.2四氯化碳所含有的分子数为多少______na
- 2先化解,再求值:2x2-4x/x+2 乘 x2+2x/x2-4x+4 + 4x/2-x ,其中 x=1/2
- 3英语翻译
- 4f(x)=cos^2x-2|cosx|(1)求值域(2)是否是周期函数,为什么?(3)求单调区间
- 5形容这个人很瘦弱的句子
- 6一块长方形菜地,长和宽的比是4:3,菜地周长是210米,这块菜地的面积是多少平方米?
- 7it is an [english dictionary],就划线部分提问
- 8求《昆虫的“鼻子”——触角》阅读答案?
- 9甲、乙、丙三位同学分别取锌粉和铜粉均匀混合物放入某稀硫酸反应,所得数据见下表.甲 乙 丙 取用金属混
- 10有人在不同的温度条件下培育具有相同基因组成的棒眼果蝇,统计发育出来的果蝇复眼中的小眼数,结果如下表: 温度/℃ 15 20 25 30 雌棒眼果蝇复眼的小眼数/个 214 122 81 24 雄棒眼果