题目

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）和椭圆

x2

16

+

y2

9

=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求双曲线的方程．

提问时间：2020-06-09

答案

由题得，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点坐标为（

7

，0），（-

7

，0），c=

7

：
且双曲线的离心率为2×

7

4

=

7

2

=

c

a

⇒a=2．⇒b²=c²-a²=3，
双曲线的方程为

x2

4

-

y2

3

=1．

先利用双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）和椭圆有相同的焦点求出c=

7

，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a=2，即可求双曲线的方程．

本题考点：双曲线的标准方程．

考点点评：本题是对椭圆与双曲线的综合考查．在解关于椭圆与双曲线离心率的题时，一定要注意椭圆中a最大，而双曲线中c最大．