题目

实数k取何值时,一元二次方程x²-（2k-x）x+2k-4=0（1）有两个正跟（2）有两个异号根,且正根的绝对值
较大,（3）一根大于3,一根小于3

提问时间：2020-06-08

答案

x²-(2k-x)x+2k-4=0
x²-2kx+x²+2k-4=0
2x²-2kx+2k-4=0
x²-kx+k-2=0
x={k±√[k²-4(k-2)]}/2
=[k±√(k²-4k+8)]/2
k²-4k+8=(k-2)²+4恒大于0,方程恒有两根
(1)显然k+√(k²-4k+8)>k-√(k²-4k+8)
故k-√(k²-4k+8)>0
k>√(k²-4k+8)>0
易见,k和√(k²-4k+8)都是正数
同时平方时不等号不变,得,k²>k²-4k+8
故k>2
(2)显然k+√(k²-4k+8)>k-√(k²-4k+8)
故k+√(k²-4k+8)>0,k-√(k²-4k+8)√(k²-4k+8)-k
k>0
综合以上,00矛盾,故k-√(k²-4k+8)恒小于3
那么由题设可知必然是k+√(k²-4k+8)>3,k-√(k²-4k+8)3 ……(a)
√(k²-4k+8)=√[(k-2)²+4]≥2
故,k>1时(a)式恒成立
考虑k≤1时
√(k²-4k+8)>3-k≥2>0
√(k²-4k+8)和3-k都是正数
同时平方时不等号不变,得,k²-4k+8>k²-6k+9
k>1/2即1/21/2时,一根大于3,一根小于3