题目
椭圆 顺便讲一下双曲线
证明由P(x0,y0)向椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)做两条切线,切点分别为AB,设线段AB中点为M,证PM过原点
证明由P(x0,y0)向椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)做两条切线,切点分别为AB,设线段AB中点为M,证PM过原点
提问时间:2020-06-05
答案
解析,设A(x1,y1),B(x2,y2)【x1≠x2,y1≠y2,x1=x2,或者y1=y2的特殊情况,很简单,不讨论】
那么,x1²/a²+y1²/b²=1【1】,x2²/a²+y2²/b²=1【2】
【1】-【2】,
得,(x1-x2)(x1+x2)/a²=(y2-y1)(y2+y1)/b²,
(x1-x2)/(y2-y1)*b²/a²=(y2+y1)/(x2+x1)
由于M是AB的中点,
故,M点的坐标是[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2],原点O的坐标为(0,0),故,k(OM)=(y2+y1)/(x2+x1)
过A点的切线方程PA是:x1*x/a²+y1*y/b²=1【3】
过B点的切线方程AB是:x2*x/a²+y2*y/b²=1【4】
【3】和【4】,联立解出,x0=a²*(y2-y1)/(x1y2-x2y1),y0=b²*(x2-x1)/(y1x2-y2x1)
那么k(OP)=y0/x0=(x1-x2)/(y2-y1)*b²/a²,
因此,k(OP)=k(OM),也就是,PM一定过原点O.
那么,x1²/a²+y1²/b²=1【1】,x2²/a²+y2²/b²=1【2】
【1】-【2】,
得,(x1-x2)(x1+x2)/a²=(y2-y1)(y2+y1)/b²,
(x1-x2)/(y2-y1)*b²/a²=(y2+y1)/(x2+x1)
由于M是AB的中点,
故,M点的坐标是[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2],原点O的坐标为(0,0),故,k(OM)=(y2+y1)/(x2+x1)
过A点的切线方程PA是:x1*x/a²+y1*y/b²=1【3】
过B点的切线方程AB是:x2*x/a²+y2*y/b²=1【4】
【3】和【4】,联立解出,x0=a²*(y2-y1)/(x1y2-x2y1),y0=b²*(x2-x1)/(y1x2-y2x1)
那么k(OP)=y0/x0=(x1-x2)/(y2-y1)*b²/a²,
因此,k(OP)=k(OM),也就是,PM一定过原点O.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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