题目

双曲线C1与双曲线x2/2-y2/4=1有共同的渐近线,且经过点A(2,-√6),椭圆C2以双曲线C1的焦点为焦点且椭圆上的
点与焦点的最短距离为√3,求双曲线C1和椭圆C2的方程

提问时间：2020-06-01

答案

因为双曲线 C1 与 x^2/2-y^2/4=1 有共同的渐近线,所以可设 C1 的方程为 x^2/2-y^2/4=k ,
将 A 坐标代入可得 4/2-6/4=k ,解得 k=1/2 ,
所以 C1 的方程为 x^2/2-y^2/4=1/2 ,化简得 x^2-y^2/2=1 .
C1 的焦点为（-√3,0）,（√3,0）,因此椭圆 C2 中,c=√3 ,
又椭圆上的点与焦点的最短距离为 a-c=√3 ,
所以解得 a=2√3,c=√3 ,因此 a^2=12,b^2=a^2-c^2=9 ,
所以椭圆 C2 的方程为 x^2/12+y^2/9=1 .