题目

这道排列组合的题怎么算?
用0,1,2,3,4,5这六个数组成没有重复数字的五位数,其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数有多少种?

提问时间：2020-05-29

答案

考虑到5位数,为满足特殊条件,必须要有2个或以上的奇数,所以从3个奇数当中选出2个或3个进行排列P(3,2)或P(3,3).
当奇数为P(3,2)个时,要有加入其它3个偶数,考虑到这时有2个奇数,它们的周围有3个空位用来排列3个偶数,并且第一位不为0,所以0只能排到第2或3个空位上,有2*P(2,2)个排法,所以当选出2个奇数的时候,满足条件的排列为：P(3,2)*2*P(2,2).
当奇数为P(3,3)时,需要再加入2个偶数,这时3个奇数的周围有4个空位,如下所示：
^1^1^1^ 其中^表示空位,1表示奇数
此时若偶数中含有0,则有C(2,1)种选法,当0在第2或3个位置时,偶数可选择的空位有2*2种,当0不在第2或3位置时,有2种选法此时满足条件的排列为：
C(2,1)*(2*2+2)*P(3,3).
当偶数中不选择0的时候,有P(2,2)种选法,此时2或3选1个空位,1或4选1个空位所以满足条件的排列为P(2,2)*2*2*P(3,3).
所以一共有：
P(3,2)*2*P(2,2)+C(2,1)*(2*2+2)*P(3,3)+P(2,2)*2*2*P(3,3)
种排列组合.