题目

如何证明pi是无理数
rt.

提问时间：2020-05-29

答案

下面是从网上找的一则证明：
这个证明属于Ivan Niven.假设pi=a/b,我们定义（对某个n）：
f(x) = (x^n) * (a-bx)^n / n!
F(x) = f(x) + ...+ (-1)^j * f^(2j)(x) + ...+ (-1)^n * f^(2n)(x)
这里f^(2j)是f的2j次导数.
于是f和F有如下性质（都很容易验证）:
1)f(x)是一个整系数多项式除以n!.
2)f(x) = f(Pi - x)
3)f在(0,pi)区间上严格递增,并且x趋于0时f(x)趋于0,
x趋于pi时f(x)趋于pi^n * a^n / n!
4)对于0 = n,f的j次导数在0和pi处是整数（由1)可知）.
6)F(0)和F(pi)是整数（由4),5)可知）.
7)F + F'' = f
8)(F'·sin - F·cos)' = f·sin （由7)可知）.
这样,对f·sin从0到pi进行定积分,就是
(F'(pi)sin(pi)-F(pi)cos(pi)) - (F'(0)sin(0)-F(0)cos(0))
=F(pi)+F(0)
由6)可知这是个整数.
问题在于如果把n取得很大,由3)可知f·sin从0到pi进行定积分必须严格大于0严格小于1.矛盾,证毕.