题目

设数列an的前n项和为sn,对于所有的自然数n都有sn=n(a1+an)/2,求证an是等差数列.请按照我的思路来做.
设数列an的前n项和为sn,对于所有的自然数n都有sn=n(a1+an)/2,求证an是等差数列.
我的思路为 an=sn-sn-1 再把an-1 的表达式求出来 在用定义 an-an-1=d 来求证.按照 这个思路来做.把过程写清楚.（我算出来的不对.）

提问时间：2020-05-23

答案

an=sn-sn-1=[n(an-an-1)+(a1+an-1)]/2;
an-1=sn-1-sn-2=[(n-1)(an-1-an-2)+(a1+an-2)]/2.
an-an-1=[n(an-2an-1+an-2)+2(an-1-an-2)]/2
所以：
2(an-an-1)-2(an-1-an-2)=n(an-2an-1+an-2)
2(an-2an-1+an-2)=n(an-2an-1+an-2).
上式括号内相同,但系数不等,所以只有当：
an-2an-1+an-2=0时成立,所以：
2an-1=an+an-2,故为等差数列.