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题目
已知三个连续自然数,它们都小于2002,其中最小的一个自然数能被13整除,中间的一个自然数能被15整除,最大的一个自然数能被17整除.那么,最小的一个自然数是______.

提问时间:2020-05-22

答案
答:本题所求的数有三个要求,我们采取逐个满足的方法.因为13A+1=15B得:A=
15B−1
13
=
13B+2B−1
13
=B+
2B−1
13

到此可抓住式子的特点,看出A或B的取值.有上式可看出B最小取7,
2B−1
13
可得整数1,则当B=7时,A=8,此时N=105,这时已满足了前两个要求,但105除以17不余16,
接着我们可以105不断的加13和15的最小公倍数的倍数,(这样的目的是为了使前两个的要求不变,加13的倍数除以13还余1,加15的倍数除以15还整除)直到找到有一个除以17余16的数,这个数就是最小的一个.
13和15的最小公倍数是195,我们可以把可以把符合除以17余16的数用105+195D来表示,当然一个个试105+195D是否能除以17余16比较麻烦,可我们仍然可以用前面的方法.
因为105+195D=17C-1,得D=
195D+106
17
=
17×11D+8D+6×17+4
17
=11D+6+
8D+4
17
,看
8D+4
17
,8D+4要是17的倍数比较容易确定,8D+4是偶数,
因此只能是17的偶数倍,34不行,68时,D=8.当D=8时,C=11×8+6+
8×8+4
17
=98,则N=17×98-1=1664,故已知三个连续自然数,它们都小于2002,其中最小的一个自然数能被13整除,中间的一个自然数能被15整除,最大的一个自然数能被17整除.那么,最小的一个自然数是 1664.
故答案为:1664.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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