题目

已知a、b、c是非零实数,且a^2+b^2+c^2=1,a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b...
已知a、b、c是非零实数,且a^2+b^2+c^2=1,a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)=-3,求a+b+c的值

提问时间：2020-05-22

答案

由a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)=-3得
a²(b+c)+b²(c+a)+c²(a+b)=-3abc
(a²+b²+c²)(a+b+c)-a³-b³-c³=-3abc
a+b+c=a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
(a+b+c)(ab+bc+ca)=0
a+b+c=0或ab+bc+ca=0
a+b+c=0或a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1
a+b+c=0或a+b+c=1或a+b+c=-1