题目

自然数P次方之和怎么算
求：1^p+2^p+3^p+...+n^p的公式（应该是递推式）

提问时间：2020-05-21

答案

先举一个例子,求1^5+2^5+3^5+…+n^5.
首先写出和式的前6项
即1^5=1 2^5=32 3^5=243 4^5=1024 5^5=3125 6^5=7776
再求出相邻两数之差,得
31 211 781 2101 4651
再次求出相邻两数之差,得
180 570 1320 2550
再次求,一直求到只剩一个数为止
390 750 1230
360 480
120
最后,取每一组数的第一个数（包括原数组）,得：1,31,180,390,360,120
则1^5+2^5+3^5+……+n^5=
1*C(1,n)+31*C(2,n)+180*C(3,n)+390*C(4,n)+360*C(5,n)+120*C(6,n)
对于某一个p,有一种通法可以求1^p+2^p+3^p+...+n^p.
首先写出这个和式的前(p+1)项,
即
1^p 2^p 3^p 4^p …… (p+1)^p
然后求出相邻两数之差,得到的差有p个
再求出差的相邻两数之差,得到的差有(p-1)个
一直求下去,求到只剩一个差为止.
最后,包括原数组1^p 2^p 3^p 4^p …… (p+1)^p,一共有(p+1)组数.
取每组数的第一个数a1、a2、a3、a4……a(p+1)（注：这(p+1)个数的顺序为为求得差时的顺序.）
则1^p+2^p+3^p+...+n^p
=a1*C(1,n)+a2*C(2,n)+a3*C(3,n)+…+a(p+1)*C(p+1,n)