题目

若数列｛Xn｝的前n项和为Sn,且loga(Sn+1)=n,则数列｛Xn｝是（）
A 只能是递增的等比数列 B 只能是递减的等差数列 C 只能是递减的等比数列 D 可能是常数列

提问时间：2020-05-07

答案

这题选A
我们用an表示数列的第n项.
由于loga(Sn+1)=n
所以a^n=Sn+1,
即a^n-1=Sn,
因而a^(n-1)-1=S(n-1)
这两个等式两边分别相减
得a^n-a^(n-1)=Sn-S(n-1)=an
即(a-1)a^(n-1)=an
把n换成n-1得,(a-1)a^(n-2)=a(n-1)
由于log函数的底数不等于一,即a不为1
这两个等式两边分别相除
得a=an/a(n-1)
所以数列{an}是等比数列.
把n=1代入loga(Sn+1)=n得
loga2=1,即a=2
所以{an}是公比为2的等比数列.
所以选A.