题目

题型：河北模拟难度：来源：

如图所示，水平面上OA部分粗糙，其他部分光滑．轻弹簧一端固定，另一端与质量为M的小滑块连接，开始时滑块静止在O点，弹簧处于原长．一质量为m的子弹以大小为v的速度水平向右射入滑块，并留在滑块中，子弹打击滑块的时间极短，可忽略不计．之后，滑块向右运动并通过A点，返回后恰好停在出发点O处．求：
（1）子弹打击滑块结束后的瞬间，滑块和子弹的共同速度大小；
（2）试简要说明滑块从O到A及从A到O两个过程中速度大小的变化情况，并计算滑块滑行过程中弹簧弹性势能的最大值；
（3）滑块停在O点后，另一颗质量也为m的子弹以另一速度水平向右射入滑块并停留在滑块中，此后滑块运动过程中仅两次经过O点，求第二颗子弹的入射速度u的大小范围．

答案

（1）子弹打击滑块，满足动量守恒定律，设子弹射入滑块后滑块的速度为v₁，
则：mv=（M+m）v₁
v1=

mv

M+m

…①
（2）从O到A滑块做加速度增大的减速运动，从A到O滑块可能做加速度增大的减速运动，或先做加速度减小的加速运动再做加速度增大的减速运动．
滑块向右到达最右端时，弹簧的弹性势能最大．设在OA段克服摩擦力做的功为W_f，与滑块的动摩擦因数为μ，弹性势能最大值为E_p，
根据能量守恒定律：

1

2

(M+m)

v

21

=Wf+Ep…②
由于滑块恰能返回到O点，返回过程中，根据能量守恒定律：

Ep=Wf…③ ①②③式解得：Ep= m2v2 4(M+m)

（3）设第二颗子弹射入滑块后滑块的速度为v₂，由动量守恒定律得：mu=（M+2m）v₂ …④
如果滑块第一次返回O点时停下，则滑块的运动情况同前，对该过程应用能量守恒定律：

1

2

(M+2m)

v

22

=2W′f⑤

W′f

Wf

=

M+2m

M+m

…⑥
①②③④⑤⑥联立解得：u1=

M+2m

M+m

v
如果滑块第三次返回O点时停下，对该过程由能量守恒：

1

2

(M+2m)v

′

22

=4W′f⑦
①②③④⑥⑦联立解得：u2=

2

M+2m

M+m

v
所以，滑块仅两次经过O点，第二颗子弹入射速度的大小范围在：

M+2m

M+m

v＜u＜

2

M+2m

M+m

v
答：（1）子弹打击滑块结束后的瞬间，滑块和子弹的共同速度大小是

mv

M+m

；
（2）滑块滑行过程中弹簧弹性势能的最大值是

m2v2 4(M+m)

；
（3）第二颗子弹的入射速度u的大小范围是

M+2m

M+m

v＜u＜

2

M+2m

M+m

v．