题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，一个带有1/4圆弧的粗糙滑板A，总质量为m_A=3kg，其圆弧部分与水平部分相切于P，水平部分PQ长为L=3.75m．开始时A静止在光滑水平面上，有一质量为m_B=2kg的小木块B从滑板A的右端以水平初速度v₀=5m/s滑上A，小木块B与滑板A之间的动摩擦因数为μ=0.15，小木块B滑到滑板A的左端并沿着圆弧部分上滑一段弧长后返回最终停止在滑板A上．
（1）求A、B相对静止时的速度大小；
（2）若B最终停在A的水平部分上的R点，P、R相距1m，求系统在该运动过程中产生的内能；
（3）若圆弧部分光滑，且除v₀不确定外其他条件不变，讨论小木块B在整个运动过程中，是否有可能在某段时间里相对地面向右运动？如不可能，说明理由；如可能，试求出B既能向右滑动、又不滑离木板A的v₀取值范围．（取g=10m/s²，结果可以保留根号）

答案

（1）小木块B从开始运动直到A、B相对静止的过程中，系统水平方向上动量守恒，有
m_Bv₀=（m_B+m_A）v ①
解得v=

2

5

v0=2m/s②
（2）由能量关系得到Q=

1

2

mB

v

20

-

1

2

(mB+mA)v2=15J ③
（3）设小木块B下滑到P点时速度为v_B，同时A的速度为v_A，由动量守恒和能量关系可以得到
m_Bv₀=m_Bv_B+m_Av_A ④

1

2

mBv02=

1

2

mBvB2+

1

2

mAvA2+μmBgL⑤
由⑥⑦两式可以得到5v_B²-4v₀v_B-v₀²+0.9gL=0，得 vB=

4v0- 36v02-18gL

10

＜0，
化简后为v₀²＞0.9gL ⑥
若要求B最终不滑离A，由能量关系必有 μmBg•2L≥

1

2

mBv02-

1

2

(mB+mA)v2 ⑦
化简得v₀²≤gL⑧
故B既能对地向右滑动，又不滑离A的条件为 0.9gL＜v₀²≤gL ⑨
即

3

2

15

m/s＜v0≤

37.5

m/s，解得，5.8m/s＜v₀≤6.1m/s⑩
答：（1）A、B相对静止时的速度大小是2m/s；
（2）系统在该运动过程中产生的内能是15J．
（3）B既能对地向右滑动，又不滑离A的条件为5.8m/s＜v₀≤6.1m/s．