题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，长为L的木板A右边固定着一个挡板，包括挡板在内的总质量为1.5M，静止在光滑的水平地面上。有一质量为M的小木块B，从木板A的左端开始以初速度v₀在
木板A上滑动。小木块B与木板A间摩擦因数为μ，小木块B滑到木板A的右端与挡板发生碰撞。已知碰撞过程时间极短，且碰后木块B恰好滑到木板A的左端就停止滑动。
（1）若μL=3v₀²/160g，在小木块B与挡板碰撞后的运动过程中，摩擦力对木板A做正功还是负功？做了多少？
（2）讨论木板A和小木块B在整个过程中，是否有可能在某一段时间内相对地面运动方向是向左的。如果不可能，说明理由；如果可能，求出至少可能向左滑动、又能保证木板A和小木块B刚好不脱离的条件。

答案

（1）摩擦力对木板做负功，大小为（27/400）M v₀²
（2）B向左滑又不脱离A的条件是2v₀²/15g＜μL≤3v₀²/20g

解析

（1）设B与A碰撞后A、B的速度分别为v_A、v_B，最终A、B的共同速度为v，则由动量守恒、能量守恒有m_Bv₀=m_Av_A+m_Bv_B，m_Bv₀=（m_A+m_B）v
μm_BgL=（1/2）m_Av_A²+（1/2）m_Bv_B²-（1/2）（m_A+m_B）v²
又μL=3v₀²/160g
以上各式联列解得v=（2/5）v₀，v_A=（1/2）v₀，v_B=（1/4）v₀
或v=（2/5）v₀，v_A=（3/10）v₀，v_B=（11/20）v₀
分析上述两组结果，由于两物碰撞后均与v₀同向，而其中第二组结果v_A=（3/10）v₀＜v_B=（11/20）v₀，该速度关系与实际不符，舍去
因此，由动能定理可得摩擦力做功
W_f =（1/2）（1.5M）v²-（1/2）（1.5M）v_A²=-（27/400）M v₀²
即摩擦力对木板做负功，大小为（27/400）M v₀²
（2）整个过程动量守恒，A不可能向左运动，碰后B可能。
要使B向左运动，由动量守恒、能量守恒有
m_Bv₀=m_Av_A+m_Bv_B，m_Bv₀=（m_A+m_B）v
μm_BgL=（1/2）m_Av_A²+（1/2）m_Bv_B²-（1/2）（m_A+m_B）v²  v_B＜0
以上各式联列解得μL＞2v₀²/15g
要保证A和B不脱离，由动量守恒和能量守恒有
m_Bv₀=（m_A+m_B）v
2μm_BgL≥（1/2）m_Bv₀²-（1/2）（m_A+m_B）v²
解得μL≤3v₀²/20g
故B向左滑又不脱离A的条件是2v₀²/15g＜μL≤3v₀²/20g