题目

题型：不详难度：来源：

（20分）某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如题图所示不用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3……N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1.将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰.（不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10 m/s²）

（1）设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为v_n,求n+1号球碰撞后的速度.
（2）若N＝5,在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16k（16 h小于绳长）问k值为多少？
（3）在第（2）问的条件下，悬挂哪个球的绳最容易断，为什么？

答案

（1）v_n-1=
（2）k=
（3）悬挂1号球的绳最容易断.

解析

（1）设n号球质量为m,n+1，碰撞后的速度分别为取水平向右为正方向，据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为v_n、0、m_n+1
根据动量守恒，有                 （1）
根据机械能守恒，有=         （2）  
由（1）、（2）得
设n+1号球与n+2号球碰前的速度为E_n+1
据题意有v_n-1=
得v_n-1==                                      （3）
（2）设1号球摆至最低点时的速度为v₁,由机械能守恒定律有
                                        （4）
v₁=                                             （5）
同理可求，5号球碰后瞬间的速度
                                       （6）
由（3）式得                       （7）
N=n=5时，v₅=                        （8）
由（5）、（6）、（8）三式得
k=                         （9）
（3）设绳长为l,每个球在最低点时，细绳对球的拉力为F,由牛顿第二定律有
                                           （10）
则           （11）
（11）式中E_kn为n号球在最低点的动能
由题意1号球的重力最大，又由机械能守恒可知1号球在最低点碰前的动能也最大，根据（11）式可判断在1号球碰前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大，故悬挂1号球的绳最容易断.