题目

题型：不详难度：来源：

(1)已知地球质量为M,引力常量为G,地球自转周期为T.求同步卫星离地心的距离.
(2)已知地球半径为R, 地球自转周期为T,贴近地球运行的卫星的周期为T₀.求同步卫星离地心的距离.
(3)已知地球半径为R,地面附近引力场强度约等于地面附近重力加速度g,地球自转周期为T.求同步卫星离地心的距离.

答案

r＝[GMT²/(4π²)]^1/3  r＝(T²/T₀²)^1/3R  r＝[gR²T²/(4π²)] ^1/3

解析

试题分析：
(1)设同步卫星离地心的距离为r. 地球对同步卫星的万有
引力F产生向心加速度a:
而                  F＝GMm/r²  a＝ω²r＝4π²r/T²
所以           GMm/r²＝4π²mr/T²
即               GMT²＝4π²r³
于是                r＝[GMT²/(4π²)]^1/3            （4分）
(2)同步卫星的运行周期等于地球的自转周期T.设同步卫星离
地心的距离为r.由  GMm/r²＝4π²mr/T²
可以得到           GMT²＝4π2r³
类似地,贴近地球运行的卫星满足 GMT₀²＝4π²R³
由以上两式可得   T²/T₀²＝r³/R³ 于是 r＝(T²/T₀²)^1/3R  （4分）
(3)同步卫星的运行周期等于地球自转的周期T.设同步卫星离
地球的距离为r.则 GMm/r²＝4π2mr/T² 即            r＝[GMT²/(4π²)]^1/3  
又            g＝F/m₁＝(GMm₁/R²)/m₁即            g＝GM/R²
即 GM＝gR²  可得r＝[gR²T²/(4π²)] ^1/3                （4分）
点评：万有引力充当向心力，然后结合牛顿第二定律列式求解