题目

题型：不详难度：来源：

图示是我国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”过程简图．月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：
A．计时表一只，B．弹簧秤一把，C．已知质量为m的物体一个，D．天平一只（附砝码一盒）．
在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t．飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可出推导出月球的半径和质量．（已知万有引力常量为G），要求：
（1）说明机器人是如何进行第二次测量的？
（2）试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式．
（3）若已知R_月=

1

4

R_地，g_月=

1

6

g_地，则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？

答案

（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
    （2）在月球上忽略月球的自转可知  mg_月=F  ①G

Mm

R2

=mg月②
飞船在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力可知G

Mm

R2

=mR

4π2

T2

③又 T=

t

N

④
由①．②．③．④式可知月球的半径 R=

FT2

4π2m

=

Ft2

4π2N2m

，
月球的质量  M=

F3t4

16π4GN4m3

．
    （3）设近月卫星和近地卫星的速度分别为v_月、v_地．
由G

Mm

R

=m

v2

R

得v=

GM R

=

gR

则

V月

V地

=

g月R月 g地R地

=

1 24

．
答：（1）机器人是这样进行第二次测量的：机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
   （2）月球半径的表达式R=

Ft2

4π2N2m

，质量表达式量M=

F3t4

16π4GN4m3

．
   （3）近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的

1

24

倍．