题目

题型：天津难度：来源：

2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系．研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×10²天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上．观测得到S2星的运行周期为15.2年．
（1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50×10²天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M_A是太阳质量M_s的多少倍（结果保留一位有效数字）；
（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚．由于引力的作用，黑洞表面处质量为m的粒子具有势能为E_p=-G

Mm

R

（设粒子在离黑洞无限远处的势能为零），式中M、R分别表示黑洞的质量和半径．已知引力常量G=6.7×10^-11N•m²/kg²，光速c=3.0×10⁸m/s，太阳质量M_s=2.0×10³⁰kg，太阳半径R_s=7.0×10⁸m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径R_A与太阳半径R_g之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）．

答案

（1）S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为m_S2，角速度为ω，周期为T，则G

MAmS2

r2

=m_S2ω²r ①
ω=

2π

T

②
设地球质量为m_E，公转轨道半径为r_E，周期为T_E，研究地球绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力则
G

MSmE

r 2E

=m_Eω²r_E ③
综合上述三式得

MA

MS

=(

r

rE

)3(

TE

T

)2
式中  T_E=1年，r_E=1天文单位，
代入数据可得

MA

MS

=4×10⁶
（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时粒子的势能为零．“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则有

1

2

mc²-G

Mm

R

＜0  ④
依题意可知R=R_A，M=M_A
可得R_A＜

2GMA

c2

  ⑤
代入数据得R_A＜1.2×10¹⁰ m
所以：

RA

RS

＜17 
答：（1）人马座A*的质量M_A是太阳质量M_s的4×10⁶倍，
（2）在经典力学范围内求人马座A*的半径R_A与太阳半径R_g之比应小于17．