题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，ABC为固定在竖直面内的光滑四分之一圆轨道，其半径为r=10m，N为固定在水平面内的半圆平面，其半径为R=

10

π

m，轨道ABC与平面N相切于c点，DEF是包围在半圆平面N周围且垂直于N的光滑半圆形挡板，质量为M=1kg的滑块的上表面与平面N在同一水平面内，且滑块与N接触紧密但不连接，现让物体自A点由静止开始下滑，进入平面N后受到挡板DEF的约束并最终冲上滑块，已知m=1kg，物体与平面N之间的动摩擦因数为μ₁=0.5、与滑块之间的动摩擦因数为μ₂=0.4，滑块与地面之间是光滑的，滑块的竖直高度为h=0.05m，长L=4m．（取g=10m/s²）
（1）物体滑到C处时对圆轨道的压力是多少？
（2）物体运动到F处时的速度是多少？
（3）当物体从滑块上滑落后到达地面时，物体与滑块之间的距离是多少？

答案

（1）对m从A到C 的过程，由动能定理得：mgr=

1

2

mvC2
由牛顿第二定律得：
N-mg=m

vC2

r

     联立代入数值得：N=3mg=30N   
 由牛顿第三定律m在C处对圆轨道的压力为30N
（2）对m从C到F   
πRμ1mg=

1

2

mvC2-

1

2

mvF2  
   解得：v_F=10m/s   
（3）根据牛顿第二定律，
      对m：-μ₂mg=ma₁，解得：a1=-4m/s2      
     对M：μ₂mg=Ma₁，解得：a2=4m/s2
设经t时间m刚要从M上滑落，此时m的速度v₁，运动的位移为s₁，M的速度v₂，运动的位移为s₂
    s₁=v_Ft+

1

2

a₁t²
          s2=

1

2

a₂t²
      而 s₁-s₂=L   
由以上三式得：t₁=2s，t2=

1

2

s
检验：当t₁=2s时 v₁=v_F+a₁t₁=2m/s，v₂=a₂t₁=8m/s   不合题意舍去，
当t2=

1

2

s时，v₁=v_F+a₁t₂=8m/s，v₂=a₂t₂=2m/s 
设m从抛出到落地时间为t₃，
      则h=

1

2

gt32
      解得：t₃=0.1s
这段时间内，m水平位移s₃=v₁t₃=0.8m    
     M水平位移 s₄=v₂t₃=0.2m
   所以△s=s₃-s₄=0.6m
 答：（1）物体滑到C处时对圆轨道的压力是30N；
（2）物体运动到F处时的速度是10m/s；
（3）当物体从滑块上滑落后到达地面时，物体与滑块之间的距离是0.6m．