题目

题型：不详难度：来源：

如图所示，质量为m、边长为L的正方形金属线框，放在倾角为θ的光滑足够长的斜面的底端，整个装置处在与斜面垂直的磁场中，在斜面内建立图示直角坐标系，磁感应强度在x轴方向分布均匀，在y轴方向分布为B=B₀+ky（k为大于零的常数）．现给线框沿斜面向上的初速度v₀，经时间t₀线框到达最高点，然后开始返回，到达底端前已经做匀速运动，速度大小为v₀/4．已知线框的电阻为R，重力加速度为g．求：
（1）线框从开始运动到返回底端的过程中，线框中产生的热量；
（2）线框在底端开始运动时的加速度大小；
（3）线框上升的最大高度．

答案

（1）线框从开始运动到返回底端的过程中，线框的动能减小转化为内能，根据能量守恒得：
  Q=

1

2

m

v

20

-

1

2

m(

v0

4

)2=

15

32

m

v

20

（2）感应电动势：E=△BLv0=k△yLv0=kL2v0
感应电流：I=

E

R

=

kL2v0

R

合安培力：F=△BIL=k△yIL=kIL²=

k2L4v0

R

根据牛顿第二定律：mgsinθ+F=ma
得：a=gsinθ+

k2L4v0

mR

（3）在上升过程中，由牛顿第二定律，得：mgsinθ+

k2L4v

R

=ma
又a=

△v

△t

，得：
mgsinθ+

k2L4v

R

=m

△v

△t

mgsinθ•△t+

k2L4v

R

△t=m△v
两边求和得：
（mgsinθ•△t+

k2L4v

R

△t）=m△v
而△y=v△t
得：（mgsinθ•△t+

k2L4

R

△y）=m△v
解得：mgsinθ•t₀+

k2L4

R

•

h

sinθ

=mv₀
∴h=

(mv0-mgt0sinθ)Rsinθ

k2L4

答：
（1）线框从开始运动到返回底端的过程中，线框中产生的热量是

15

32

m

v

20

；
（2）线框在底端开始运动时的加速度大小是gsinθ+

k2L4v0

mR

；
（3）线框上升的最大高度是

(mv0-mgt0sinθ)Rsinθ

k2L4

．