题目

题型：不详难度：来源：

设雨点下落过程中所受空气阻力大小与速度成正比，且与雨点半径的α次方成正比（1＜α＜2），现有两个大小不同的雨点从同一高度的云层静止起下落，那么先到达地面的是______（填“大”或“小”）雨点，接近地面时速度较小的是______（填“大”或“小”）雨点．

答案

由于雨滴受到的空气阻力大小与速度大小成正比，速度越大阻力越大，因此最终当阻力增大到与重力平衡时都做匀速运动；
设雨滴半径为r，则当雨滴匀速下落时受到的空气阻力f∝r^α，
由题意可知，雨滴下落时的阻力与速度有关，可以假定阻力与vⁿ成正比，则可知f=Kr^αvⁿ，（K为常数）
而物体的重力mg=ρg•

4

3

πr3，即半径越大，雨滴的重力越大；
而匀速运动时，mg=f=kKr^αvⁿ，
即：ρg•

4

3

πr3=kKr^αvⁿ，即vⁿ∝r^3-a，由于1≤α≤2，故3-α＞0，
故半径越大的雨滴下落速度越快，因此半径大的匀速运动的速度大，平均速度也大，故大雨滴先落地且落地速度大，小雨滴落地速度小．
故答案为：大；小．