题目

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【题文】（本小题满分14分）已知函数，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数有两个零点，且，求实数的取值范围并证明随的增大而减小.

答案

【答案】（1）的单调递增区间为，；（2）的取值范围是.证明详见解析.

解析

【解析】
试题分析：（1）导数大于0，则为增函数，导数小于0则为减函数.将求导得，当时，对恒成立，的单调递增区间为；当时，由得：，或， 所以的单调递增区间为，；（2），得.显然是的极大值点，要使得有两个零点，必须>0, 即，从而得的取值范围是.是函数的两个零点，所以，，相减消去得：.设，则，且解得，.所以. 令，，再利用导数可知在上单调递增，由此可得随着的增大而增大.下面再来研究与的关系.因为是函数的两个零点，即，，则，，，.设，则，所以在上单调递增，在上单调递减. 对于任意的，方程都有两个解，这两个解就是.如下图：

设，设，则必有，其中；，其中.因为在上单调递增，故由，即，可得；
类似可得，由，则，所以.这说明随着的增大而减小.根据复合函数的单调性知随a增大而减小.
试题解析：（1） ∵，所以定义域为且， 1分
因为,
（1）当，又，即时，对恒成立，
∴的单调递增区间为； 2分
（2）当，又，即时，
由得：，或， 3分
所以的单调递增区间为，； 4分
（2）当时，由，得.
当变化时，，的变化情况如下表：

		1
	＋	0	－