题目

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【题文】设a为实数，记函数的最大值为．
（1）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t) ；
（2）求 ；
（3）试求满足的所有实数a．

答案

【答案】（1）,；（2）=（3）.

解析

【解析】
试题分析：(1)根据的取值范围求出的范围，再将用含的式子表示；（2）由题意知即为函数，的最大值，因为对称轴含有参数，所以要讨论处理；（3）根据（2）问得出的，由在对应区域上讨论解答即可.
试题解析：（1）∵，∴要使有意义，必须且，即.
∵，且 ①   
∴的取值范围是,                                          2分
由①得：，
∴，.                 4分
（2）由题意知即为函数，的最大值，
∵直线是抛物线的对称轴，                       5分
∴可分以下几种情况进行讨论：
①当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
②当时，，，有=2；
③当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，.     9分
综上所述，有=                        10分
（3）当时，；
当时，，，∴，
，故当时，； 
当时，，由知：，故；
当时，，故或，从而有或，
要使，必须有，，即，
此时，.                           13分
考点：1.分段函数；2.二次函数；3.函数最值.