题目

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【题文】是定义在上的函数, 若存在区间， 使函数在上的值域恰为，则称函数 是型函数． 给出下列说法:
①不可能是型函数；
②若函数是型函数, 则，；
③设函数是型函数, 则的最小值为；
④若函数 是型函数, 则的最大值为．
下列选项正确的是（   ）

A．①③

B．②③

C．②④

D．①④

答案

【答案】C

解析

【解析】由题意知，．
对①若是型函数，因为在区间与上都是增函数
所以方程有两个不同的非零实根，
即方程有两个不同的非零实根，
所以当，且时，即时，方程有两个不同的正实数根，这时在上的值域恰为，所以函数是型函数，故①错误．
对②， 若函数是型函数, 则存在区间，使函数在上的值域恰为，函数的对称轴是，下面分三种情况讨论：
(a)当时，函数在上的值域为，所以有，，以上两式相减得到，因为，所以，即，所以，整理得，此方程无实数根；
(b)当时，有，即，矛盾；
(c)当时，有
时，可得．
综上所述，②正确．
对③，函数是型函数, 利用导数知识可得 在区间上是减函数，在区间上是增函数，若，且则函数在区间上的最大值为0，最小值为，要使，只要取，显然这时，且函数在上的值域恰为，所以的最小值不是，因此③不正确．
对④， 若函数是型函数, 则有两个不同的非零解，即有两个不同的非零解，． 由得或，
所以(当时取等号)，
所以的最大值为．
故选C．
【命题意图】本题是新定义题型，意在考查转化与化归能力、运算求解能力．