题目

题型：不详难度：来源：

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂,a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=1-.
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较与S_n+1的大小，并说明理由.

答案

（1）a_n=2n-1，b_n=（2）n≥4时，＞S_n+1.

解析

1）由已知得,
又∵{a_n}的公差大于0，∴a₅＞a₂,∴a₂=3,a₅=9.
∴d= ==2，a₁=1.∴a_n="2n-1.                          " 2分
∵T_n=1-b_n，∴b₁=，
当n≥2时，T_n-1=1-b_n-1,
∴b_n=T_n-T_n-1=1-b_n-(1-b_n-1),
化简，得b_n=b_n-1,
∴{b_n}是首项为,公比为的等比数列，
即b_n=·=,                                           4分
∴a_n=2n-1，b_n=.                                         5分
(2)∵S_n==n²,
∴S_n+1=（n+1）²，=.                                      6分
以下比较与S_n+1的大小：
当n=1时，=，S₂=4，∴＜S₂,
当n=2时，=,S₃=9,∴＜S₃,
当n=3时，=,S₄=16,∴＜S₄,
当n=4时，=,S₅=25,∴＞S₅.
猜想：n≥4时，＞S_n+1.                                       8分
下面用数学归纳法证明：
①当n=4时，已证.
②假设当n="k" (k∈N^*,k≥4)时，＞S_k+1,即＞(k+1)².
那么n=k+1时，
==3·＞3(k+1)²=3k²+6k+3
=(k²+4k+4)+2k²+2k-1＞［(k+1)+1］²
=S_(k+1)+1,
∴n=k+1时，＞S_n+1也成立.                                    11分
由①②可知n∈N^*,n≥4时，＞S_n+1都成立.                           14分
综上所述，当n=1,2,3时，＜S_n+1,
当n≥4时，＞S_n+1.                                           16分