题目

题型：不详难度：来源：

用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有1,3,9,，10的因数有1,2,5,10,,那么      ；         .

答案

85，（4ⁿ-1）．

解析

此题答案为：85，（4ⁿ-1）
据题中对g（n）的定义，判断出g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n，利用等差数列的前n项和公式及逐差累加的方法及等比数列的前n项和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ-1），令n=4求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（15）．
解：由g（n）的定义易知g（n）=g（2n），且若n为奇数则g（n）=n
令f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1）
则f（n+1）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ⁺¹-1）=1+3+…+（2ⁿ⁺¹-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）
=2ⁿ[1+（2ⁿ⁺¹-1）]/2+g（1）+g（2）+…+g（2ⁿ⁺¹-2）=4ⁿ+f（n）
即f（n+1）-f（n）=4ⁿ
分别取n为1，2，…，n并累加得f（n+1）-f（1）=4+4²+…+4ⁿ==（4ⁿ-1）
又f（1）=g（1）=1，所以f（n+1）=（4ⁿ-1）+1
所以f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…g（2ⁿ-1）=（4^n-1-1）+1
令n=4得
g（1）+g（2）+g（3）+…+g（15）= (4³-1)+1=85
故答案为85，（4ⁿ-1）．