题目
题型:不详难度:来源:
设函数(其中常数>0,且≠1).
(Ⅰ)当时,解关于的方程(其中常数);
(Ⅱ)若函数在上的最小值是一个与无关的常数,求实数的取值范围.
答案
(1)
当m>3时,方程f(x)=m有两解x=lg和x=lg;
当2<m≤3时,方程f(x)=m有两解x=lg
(2)当a≥时,f(x)在(-∞,2]上的最小值与a无关
解析
解(Ⅰ)f(x)=
①当x<0时,f(x)=>3.因为m>2.则当2<m≤3时,方程f(x)=m无解;
当m>3,由10x=,得x=lg. …………………… 1分
②当x≥0时,10x≥1.由f(x)=m得10x+=m,∴(10x)2-m10x+2=0.
因为m>2,判别式=m2-8>0,解得10x=.…………………… 3分
因为m>2,所以>>1.所以由10x=,解得x=lg.
令=1,得m=3. …………………… 4分
所以当m>3时,=<=1,
当2<m≤3时,=>=1,
解得x=lg.…………… 5分
综上,当m>3时,方程f(x)=m有两解x=lg和x=lg;
当2<m≤3时,方程f(x)=m有两解x=lg.…………………… 6分
(2)
(Ⅰ)若0<a<1,当x<0时,0<f(x)=<3;当0≤x≤2时,f(x)=ax+.… 7分
令t=ax,则t∈[a2,1],g(t)=t+在[a2,1]上单调递减,所以当t=1,即x=0时f(x)取得最小值为3.
当t=a2时,f(x)取得最大值为.此时f(x)在(-∞,2]上的值域是(0,],没有最小值.…………………… 9分
(Ⅱ)若a>1,当x<0时,f(x)=>3;当0≤x≤2时f(x)=ax+.
令t=ax,g(t)=t+,则t∈[1,a2].
①若a2≤,g(t)=t+在[1,a2]上单调递减,所以当t=a2即x=2时f(x)取最小值a2+,最小值与a有关;…………………………… 11分
②a2≥,g(t)=t+在[1,]上单调递减,在[,a2]上单调递增,…………13分
所以当t=即x=loga时f(x)取最小值2,最小值与a无关.……………… 15分
核心考点
试题【(本小题满分16分)设函数(其中常数>0,且≠1).(Ⅰ)当时,解关于的方程(其中常数);(Ⅱ)若函数在上的最小值是一个与无关的常数,求实数的取值范围.】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
(
A. 2 个 ( | B. 4个 ( | C. 6个 ( | D. 8个 |
A. | B. | C. | D. |
(1) 把总造价元表示为池底的一边长米的函数;
(2) 蓄水池的底边长为多少时总造价最低?总造价最低是多少?
A. | B. | C. | D. |
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