题目
题型:不详难度:来源:
(1)判断1是否为函数≤≤的“均值”,请说明理由;
(2)若函数为常数)存在“均值”,求实数a的取值范围;
(3)若函数是单调函数,且其值域为区间I.试探究函数的“均值”情况(是否存在、个数、大小等)与区间I之间的关系,写出你的结论(不必证明).
说明:对于(3),将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分
答案
当且仅当时,有,
故存在唯一,满足, ……………………2分
所以1是函数的“均值”. ……………………4分
(另法:对任意的,有,令,
则,且,
若,且,则有,可得,
故存在唯一,满足, ……………………2分
所以1是函数的“均值”. ……………………4分)
(2)当时,存在“均值”,且“均值”为;…………5分
当时,由存在均值,可知对任意的,
都有唯一的与之对应,从而有单调,
故有或,解得或或, ……………………9分
综上,a的取值范围是或. ……………………10分
(另法:分四种情形进行讨论)
(3)①当I 或时,函数存在唯一的“均值”.
这时函数的“均值”为; …………………12分
②当I为时,函数存在无数多个“均值”.
这时任意实数均为函数的“均值”; ……………………14分
③当I 或或或或或时,
函数不存在“均值”. ……………………16分
[评分说明:若三种情况讨论完整且正确,但未用等价形式进行叙述,至多得6分;若三种情况讨论不完整,且未用等价形式叙述,至多得5分]
①当且仅当I形如、其中之一时,函数存在唯一的“均值”.
这时函数的“均值”为; ……………………13分
②当且仅当I为时,函数存在无数多个“均值”.
这时任意实数均为函数的“均值”; ……………………16分
③当且仅当I形如、、、、、其中之一时,函数不存在“均值”. ……………………18分
(另法:①当且仅当I为开区间或闭区间时,函数存在唯一的“均值”.这时函数的均值为区间I两端点的算术平均数; ……………………13分
②当且仅当I为时,函数存在无数多个“均值”.这时任意实数均为函数的“均值”; ……………………16分
③当且仅当I为除去开区间、闭区间与之外的其它区间时,函数不存在“均值”. ……………………18分)
[评分说明:在情形①与②中,等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”,各扣1分]
解析
核心考点
试题【对于定义域为的函数,若有常数M,使得对任意的,存在唯一的满足等式,则称M为函数f (x)的“均值”.(1)判断1是否为函数≤≤的“均值”,请说明理由;(2)若函】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
A f(x)=" x3" +1 B f(x)=" x3" -1 C f(x)=" -x3" +1 D f(x)=" -x3" -1
若存在,使得成立,则实数的取值范围是
A. | B. | C. | D. |
(1)求证函数在区间上存在唯一的极值点,并用二分法求函数取得极值时相应的近似值(误差不超过);(参考数据,,)
(2)当时,若关于的不等式恒成立,试求实数的取值范围.
A.且 | B.且 | C.且 | D.且 |
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
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