题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)如果对于任意的,总成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)是否存在正实数,使得:当时,不等式恒成立?请给出结论并说明理由.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)先求,利用辅助角公式,函数的性质求得;(Ⅱ)构造新函数,用导数法求解,需要对进行分类讨论;(Ⅲ)探索性问题,构造新函数,用导数法解题.
试题解析:(Ⅰ)由于,
所以. (2分)
当,即时,;
当,即时,.
所以的单调递增区间为,
单调递减区间为. (4分)
(Ⅱ)令,要使总成立,只需时.
对求导得,
令,则,()
所以在上为增函数,所以. (6分)
对分类讨论:
① 当时,恒成立,所以在上为增函数,
所以,即恒成立;
② 当时,在上有实根,因为在上为增函数,
所以当时,,所以,不符合题意;
③ 当时,恒成立,所以在上为减函数,则,不符合题意.
综合①②③可得,所求的实数的取值范围是. (9分)
(Ⅲ)存在正实数使得当时,不等式恒成立.
理由如下:令,要使在上恒成立,只需. (10分)
因为,且,,
所以存在正实数,使得,
当时,,在上单调递减,即当时,,
所以只需均满足:当时,恒成立. (14分)
注:因为,,所以的性质,恒成立问题.
核心考点
试题【已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)如果对于任意的,总成立,求实数的取值范围;(Ⅲ)是否存在正实数,使得:当时,不等式恒成立?请给出结论并说明理由.】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大?(注:年利润=年销售收入 年总成本)
任意,给出下列结论:
①②③;
其中正确结论的序号是 .(把所有正确结论的序号都填写在横线上)
A. | B. | C. | D. |
A. 10 | B. 8 | C. 7 | D. 6 |
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