题目

题型：0116 模拟题难度：来源：

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点 D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G，
（1）求证：点F是BD中点；
（2）求证：CG是⊙O的切线；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

答案

（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF，
∴，
∵HE=EC，
∴BF=FD。
（2）证明：连接CB、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO，
∴∠OCF=90°，
∴CG是⊙O的切线。 
（3）解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，
可证得：FA=FG，且AB=BG，
由切割线定理得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，    ①
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG²=FG²-BF²，   ②
由①、②得：FG²-4FG-12=0，解之得：FG=6，或FG=-2（舍去），
∴AB=BG=4，
∴⊙O的半径为2。