题目

题型：牡丹江一模难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若AD=2

3

，AE=6，求EC的长．

答案

证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…（3分）
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．    …（5分）


（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA²=OE²+AE²，即(r+2

3

)2=r2+62，
解得r=2

3

，…（7分）
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴在Rt△BCE中，可得EC=

1

2

BE=

1

2

×

3

r=

1

2

×

3

×2

3

=3．                 …（10分）