已知an=4n+5，bn=3n，求证：对任意正整数n，都存在正整数p，使得ap=bn2成立． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知a_n=4n+5，b_n=3ⁿ，求证：对任意正整数n，都存在正整数p，使得a_p=b_n²成立．

答案

a_n=4n+5=4（n+1）+1，表示的是被4除余1的数，
而b_n²=9ⁿ=（8+1）ⁿ=C_n⁰8ⁿ+C_n¹8^n-1+…+C_n^n-1•8+1，展开式除最后一项之外均为8也为4的倍数，
因此b_n²表示被4除余1的数，
因此，对任意正整数n，都存在正整数p，使得a_p=b_n²成立．

核心考点

试题【已知an=4n+5，bn=3n，求证：对任意正整数n，都存在正整数p，使得ap=bn2成立．】；主要考察你对直接证明与间接证明等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知：a，b∈R⁺，a+b=1，求证：ax²+by²≥（ax+by）²．

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若a＞b＞c，则使

≥

恒成立的最大的正整数k为（　　）

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A．2

B．3

C．4

D．5

设a、b∈R⁺且a+b=3，求证

1+a

1+b

≤

．

求证：函数f(x)=-

+1在区间（0，+∞）上是单调增函数．

下面对命题“函数f（x）=x+

是奇函数”的证明不是综合法的是（　　）

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A．∀x∈R且x≠0有f（-x）=（-x）+

=-（x+

）=-f（x），∴f（x）是奇函数

B．∀x∈R且x≠0有f（x）+f（-x）=x+

+（-x）+（-

）=0，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）是奇函数

C．∀x∈R且x≠0，∵f（x）≠0，∴

=-1，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数

D．取x=-1，f（-1）=-1+

=-2，又f（1）=1+