题目
题型:不详难度:来源:
①在数列{an}中,已知a1=1,an+1=
an |
1+2an |
(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式;
(2)用适当的方法证明你的猜想.
②是否存在常数a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=
n(n+1) |
12 |
并证明你的结论.
答案
an |
1+2an |
∴a2=
1 |
1+2×1 |
1 |
3 |
a3=
| ||
1+2×
|
1 |
5 |
a4=
| ||
1+2×
|
1 |
7 |
∴猜想数列{an}的通项公式an=
1 |
2n-1 |
(2)用数学归纳法证明an=
1 |
2n-1 |
当n=1时,a1=
1 |
2×1-1 |
1 |
2 |
假设当n=k时,an=
1 |
2n-1 |
1 |
2k-1 |
则当n=k+1时,ak+1=
ak |
1+2ak |
| ||
1+2×
|
=
1 |
2k-1+2 |
1 |
2k+1 |
1 |
2(k+1)-1 |
故an=
1 |
2n-1 |
②证明:假设存在符合题意的常数a,b,c,
在等式1•22+2•32++n(n+1)2
=
n(n+1) |
12 |
令n=1,得4=
1 |
6 |
令n=2,得22=
1 |
2 |
令n=3,得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3,b=11,c=10,
于是,对于n=1,2,3都有
1•22+2•32++n(n+1)2=
n(n+1) |
12 |
下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立.
(1)当n=1时,由上述知,(*)成立.
(2)假设n=k(k≥1)时,(*)成立,
即1•22+2•32++k(k+1)2
=
k(k+1) |
12 |
那么当n=k+1时,
1•22+2•32++k(k+1)2+(k+1)(k+2)2
=
k(k+1) |
12 |
=
(k+1)(k+2) |
12 |
=
(k+1)(k+2) |
12 |
由此可知,当n=k+1时,(*)式也成立.
综上所述,当a=3,b=11,c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立.
核心考点
试题【(任选一题)①在数列{an}中,已知a1=1,an+1=an1+2an(n∈N+).(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式;(2】;主要考察你对合情推理与演译推理等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
6 |
1 |
6 |