题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知平面向量a=，b=
（1）证明ab；
（2）若存在实数k，t，使x=a+b，y=-ka+tb，且xy，试求k，t的函数关系式;
（3）根据（2）的结论，讨论关于t的方程的解的情况。

答案

（1）  略
（2）  k=
（3）
时，直线k=m与曲线仅有一个交点，则方程有一解；
当时，直线k=m与曲线有两个交点，则方程有两解；
当时，直线k=m与曲线有三个交点，则方程有三个解。

解析

解（1）a·b=0，ab。
（2）xy， x·y=0，即〔a+b〕·(—ka+tb)=0
整理得-ka²+〔t­-k〕a·b+tb²=0
 a·b=0，a²=4，b²=1。上式化为-4k+ t =0，k=
(3)讨论方程的解得情况，可以看做曲线与直线k=m的交点个数。
于是。
令，解得，当变化时，、的变化情况如下表：

				１
		0	－	０	＋

当时，有极大值，极大值为。
当时，有极小值，极小值为。
而时，得。 所以的图像大致如图所示

于是时，直线k=m与曲线仅有一个交点，则方程有一解；
当时，直线k=m与曲线有两个交点，则方程有两解；
当时，直线k=m与曲线有三个交点，则方程有三个解。