题目

题型：北京难度：来源：

已知n次多项式P_n（x）=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n．
如果在一种算法中，计算x₀^k（k=2，3，4，…，n）的值需要k-1次乘法，计算P₃（x₀）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P_n（x₀）的值共需要______次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：P₀（x₀）=a₀．P_n+1（x）=xP_n（x）+a_k+1（k=0，l，2，…，n-1）．利用该算法，计算P₃（x₀）的值共需要6次运算，计算P_n（x₀）的值共需要______次运算．

答案

在利用常规算法计算多项式P_n（x）=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n的值时，
算a₀xⁿ项需要n乘法，则在计算时共需要乘法：n+（n-1）+（n-2）+…+2+1=

n(n+1)

2

次
需要加法：n次，则计算P_n（x₀）的值共需要

1

2

n（n+3）次运算．
在使用秦九韶算法计算多项式P_n（x）=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n的值时，
共需要乘法：n次
需要加法：n次，则计算P_n（x₀）的值共需要2n算．
故答案为：

1

2

n（n+3），2n