题目

题型：不详难度：来源：

三个元件T₁、T₂、T₃正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？

答案

图甲的接法电路不发生故障的概率最大.

解析

设元件T₁、T₂、T₃能正常工作的事件为A₁、A₂、A₃，电路不发生故障的事件为A，则P（A₁）=0.7，P（A₂）=0.8，P（A₃）=0.9.
（1）按图甲的接法求P（A）: A=（A₁+A₂）·A₃，
由A₁+A₂与A₃相互独立，则P（A）=P（A₁+A₂）·P（A₃）
又P（A₁+A₂）=1–P（）=1–P（·）
由A₁与A₂相互独立知与相互独立，得:
P（·）=P（）·P（）=［1–P（A₁）］·［1–P（A₂）］
=（1–0.7）×(1–0.8)=0.06，∴P(A₁+A₂)=0.1–P(·)=1–0.06=0.94，
∴P(A)=0.94×0.9=0.846.
(2)按图乙的接法求P（A） A=（A₁+A₃）·A₂且A₁+A₃与A₂相互独立，则P（A）=P（A₁+A₃）·P（A₂），
用另一种算法求P（A₁+A₃）.
∵A₁与A₃彼此不互斥，
根据容斥原理P（A₁+A₃）=P（A₁）+P（A₃）–P（A₁A₃），
∵A₁与A₃相互独立，
则P（A₁·A₃）=P（A₁）·P（A₃）=0.7×0.9=0.63,P(A₁+A₃)
=0.7+0.9–0.63=0.97 
∴P(A)=P(A₁+A₃)·P(A₂)=0.97×0.8=0.776.
(3)按图丙的接法求P（A），用第三种算法.
A=（A₂+A₃）A₁=A₂A₁+A₃A₁,
∵A₂A₁与A₃A₁彼此不互斥，
据容斥原理，则P（A）=P（A₁A₂）+P（A₁A₃）–P（A₁A₂A₃），
又由A₁、A₂、A₃相互独立，得P（A₁·A₂）=P（A₁）P（A₂）=0.8×0.7=0.56,
P(A₃A₁)=P(A₃)·P(A₁)=0.9×0.7=0.63,
P(A₁A₂A₃)=P(A₁)·P(A₂)·P(A₃)=0.7×0.8×0.9=0.504,
∴P(A)=0.56+0.63–0.504=0.686.
综合（1）、（2）、（3）得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为0.846,0.776,0.686.故图甲的接法电路不发生故障的概率最大.