题目

题型：不详难度：来源：

已知直线l：y=x+1与椭圆3x²+y²=2相交于A，B两点，O为坐标原点，
（1）求证：OA⊥OB；
（2）如果直线l向下平移1个单位得到直线m，试求椭圆截直线m所得线段的长度．

答案

（1）证明：直线l：y=x+1与椭圆3x²+y²=2相交于A，B两点，
得

y=x+1 3x 2+y2=2

，
消去y得4x²+2x-1=0，
解得x1=

-1+ 5

4

，x2=

-1- 5

4

，
所以A(

-1+ 5

4

，

3+ 5

4

)，B(

-1- 5

4

，

3- 5

4

)．
所以

OA

•

OB

=(

-1+ 5

4

，

3+ 5

4

)(

-1- 5

4

，

3- 5

4

)=0
∴

OA

⊥

OB

，
∴OA⊥OB．
（2）直线l向下平移1个单位得到直线m：y=x，
联立得到

y=x 3x2+y2=2

，
解得

x= 2 2 y= 2 2

或

x=- 2 2 y=- 2 2

，
所以截得的线段长为2．