题目

题型：不详难度：来源：

试求常数m的范围，使曲线y=x²的所有弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分．

答案

设抛物线上存在两点(x1，

x

21

)，(x2，

x

22

)关于直线y=m（x-3）对称（m≠0），
则

x 21 + x 22 2 =m( x1+x2 2 -3) x 21 - x 22 x1-x2 =- 1 m

，
所以

x 21 +x 22 =m(x1+x2-6) x1+x2=- 1 m

．
消去x₂，得2

x

21

+

2

m

x1+

1

m2

+6m+1=0．
因为x₁∈R，所以△=(

2

m

)2-8(

1

m2

+6m+1)＞0．
所以（2m+1）（6m²-2m+1）＜0．所以m＜-

1

2

．
即当m＜-

1

2

时，抛物线上存在两点关于直线y=m（x-3）对称．
而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求的范围为m≥-

1

2

．