已知椭圆x24+y2=1，过点M（-1，0）作直线l交椭圆于A，B两点，O是坐标原点．（1）求AB中点P的轨迹方程；（2）求△OAB面积的最大值，并求此时直线l - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

+y2=1，过点M（-1，0）作直线l交椭圆于A，B两点，O是坐标原点．
（1）求AB中点P的轨迹方程；
（2）求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．

答案

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
则

=1，(1)

=1，(2)

（1）-（2），得

(x1-x2)(x1+x2)

+(y1-y2)(y1+y2)=0，
∴

x+1

•y=0，即x²+x+4y²=0
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
令l：x=hy-1代入x²+4y²=4，得（4+h²）y²-2hy-3=0，△=16（h²+3）＞0，
y₁+y₂=

4+h2

，y₁y₂=-

4+h2

∴S=

•|OM|•|y1-y2|=

•

△

4+h2

h2+3

h2+4

，
令

h2+3

=t≥

，则S=

t2+1

在[

，+∞)上单调递减，
∴t=

，即h=0时，Smax=

，此时l：x=-1．

核心考点

试题【已知椭圆x24+y2=1，过点M（-1，0）作直线l交椭圆于A，B两点，O是坐标原点．（1）求AB中点P的轨迹方程；（2）求△OAB面积的最大值，并求此时直线l】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知双曲线C：

=1(a＞0，b＞0)，直线l：y=

(x-4)关于直线l1：y=

x对称的直线l′与x轴平行．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若点M（4，0）到双曲线上的点P的最小距离等于1，求双曲线的方程．

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直线l过x轴上的点M，l交椭圆

=1于A，B两点，O是坐标原点．
（1）若M的坐标为（2，0），当OA⊥OB时，求直线l的方程；
（2）若M的坐标为（1，0），设直线l的斜率为k（k≠0），是否存直线l，使得l垂直平分椭圆的一条弦？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，说明理由．

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已知椭圆C₁和抛物线C₂有公共焦点F（1，0），C₁的中心和C₂的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C₂分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C₂的标准方程；
（Ⅱ）若

，求直线l的方程；
（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C₂上，直线l与椭圆C₁有公共点，求椭圆C₁的长轴长的最小值．

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已知点M（-1，0），N（1，0），动点P（x，y）满足：|PM|•|PN|=

1+cos∠MPN

，
（1）求P的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点N（1，0）的直线l与曲线C相交于A、B两点，并且曲线C存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAQB的面积；若不存在，说明理由．

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已知双曲线C：x2-

=1，过点P（-1，-2）的直线交C于A，B两点，且点P为线段AB的中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）求弦长|AB|的值．

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