题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点，设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，

MF

=λ

FB

（λ＞0）
（1）若λ=1，求直线l斜率
（2）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁，B₁且|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差数列求λ的值
（3）设已知抛物线为C1：y²=x，将其绕顶点按逆时针方向旋转90°变成C₁′．圆C2：x²+（y-4）²=1的圆心为点N．已知点P是抛物线C₁′上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C′₁于T，S，两点，若过N，P两点的直线l垂直于TS，求直线l的方程．

答案

依题意设抛物线方程为y²=2px（p＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y₀，
则F（

p

2

，0）准线方程为x=-

p

2

直线l的方程为y=k（x-

p

2

），M（-

p

2

，y₀），y₂＞0
∵

MF

=λ

FB

，∴（p，-y₀）=λ（x₂-

p

2

，y₀），故p=λ（x₂-

p

2

）
（1）若λ=1，由p=λ（x₂-

p

2

），y₂²=2px₂，y₂＞0，得x₂=

3p

2

，y₂=

3

p，
∴B（

3p

2

，

3

p）
∴直线l的斜率k=

3 p

3p 2 - p 2

=

3

；
（2）直线l的方程代入y²=2px，消去y，可得k²x²-（k²p+2p）x+

k2p2

4

=0，则x₁x₂=

p2

4

∵x2=

p

λ

+

p

2

，∴x1=

p2

4x2

=

λp

2λ+4

∵|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差数列
∴2|

OF

|=|

B1F

|+2|

A1F

|，
∴(x2-

p

2

)+2(

p

2

-x1)=p
∴x₂-2x₁=

p

2

将x2=

p

λ

+

p

2

和x1=

λp

2λ+4

代入上式得

1

λ

=

λ

λ+2

，∴λ=2；
（3）设P（x₀，x₀²），S（x₁，x₁²），T（x₂，x₂²），由题意得x₀≠0，x₀≠±1，x₁≠x₂．
设过点P的圆C₂的切线方程为y-x₀²=k（x-x₀），即y=kx-kx₀+x₀²．①
则

|kx0+4-x02|

1+k2

=1，
即（x₀²-1）k²+2x₀（4-x₀²）k+（x₀²-4）²-1=0．
设PS，PT的斜率为k₁，k₂（k₁≠k₂），则k₁，k₂是上述方程的两根，所以
k₁+k₂=

2x0(x02-4)

x02-1

，k₁k₂=

(x02-4)2-1

x02-1

．
将①代入y=x²，得x²-kx+kx₀-x₀²=0，
由于x₀是此方程的根，故x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀，
所以kST=

x12-x22

x1-x2

=x₁+x₂=k₁+k₂-2x₀=

2x0(x02-4)

x02-1

-2x₀，k_NP=

x02-4

x0

．
由MP⊥AB，得k_NP•k_ST=[

2x0(x02-4)

x02-1

-2x₀]•

x02-4

x0

=-1，解得x₀²=

23

5

，
即点P的坐标为（±

23 5

，

23

5

），所以直线l的方程为y=±

3 115

115

x+4．