题目

题型：不详难度：来源：

在平面内，设到定点F（0，2）和轴距离之和为4的点P轨迹为曲线C，直线过点F，交曲线C于M，N两点。
（1）说明曲线C的形状，并画出图形；
（2）求线段MN长度的范围。

答案

曲线C是焦点在F（0，2），准线分别为和
顶点分别是（0，-1）和（0，3）的两条抛物线一部分组成的封闭图形ABCD

解析

解：（1）设动点，由已知得：
   1分
当时，，
化简得：
当时，
化简得：   3分
如图：曲线C是焦点在F（0，2），准线分别为和
顶点分别是（0，-1）和（0，3）的两条抛物线一部分组成的封闭图形ABCD

……6分
（2）当M、N在两支抛物线上时，过M、N分别作相应准线的垂线，垂足分别是M₁、N₁，由抛物线定义，MM₁=MF；NN₁=NF，
设M、N的纵坐标分别为
当过BD时，|MN|最小，最小值为4，
当过C（或A）时，|MN|最大，
此时直线的方程为和抛物线
另一个交点，|MN|最大值为，
|MN|范围是   10分
当M、N都在上支抛物线上时，易求|MN|范围也是
由上综述：|MN|范围是   13分