题目

题型：浙江省高考真题难度：来源：

已知抛物线C：x²=2py(p＞0)上一点A(m，4)到其焦点的距离为，
(Ⅰ)求p与m的值；
(Ⅱ)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t＞0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值．

答案

解：(Ⅰ)由抛物线的定义，得，
又m²=8p，所以。
(Ⅱ)由p=得抛物线的方程为y=x²，
由题意可知，直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为：y-t²=k（x-t）(k≠0)，
令y=0，得，
解方程组，得，
由NQ⊥PQ，得直线NQ的方程为：y-（k-t）²=，
解方程组，得，
于是抛物线C在点N处的切线方程为，①
将点M的坐标代入式①，得，②
当时，，
故k＞0，此时，；
当时，由式②得，
即，此时，
因为t＞0，所以，
当时，，符合题意；
综上，t的最小值为。