题目

题型：浙江省高考真题难度：来源：

已知抛物线C₁：x²=y，圆C₂：x²+(y-4)²=1的圆心为点M。
（Ⅰ）求点M到抛物线C₁的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线C₁上一点（异于原点），过点P作圆C₂的两条切线，交抛物线C₁于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程。

答案

（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：，
所以圆心M（0，4）到抛物线的距离是。
（Ⅱ）解：设，
由题意得，
设过点P的圆C₂的切线方程为y-x₀²=k(x-x₀)， ①
则，
即，
设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，
所以，，
将①代入y=x²得，
由于x₀是此方程的根，故，
所以，
由MP⊥AB，得，
解得，即点P的坐标为，
所以直线l的方程为。