题目

题型：不详难度：来源：

已知经过点A（－4，0）的动直线l与抛物线G：相交于B、C，当直线l的斜率是时，．
（Ⅰ）求抛物线G的方程；
（Ⅱ）设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析

试题分析：该题考察抛物线的方程、韦达定理、直线和抛物线的位置关系、向量等基础知识，考察数形结合、综合分析和解决问题能力、基本运算能力，（Ⅰ）求直线的方程：，和抛物线联立，得
设，代入 向量式中，得，然后联立
可得∴，∴抛物线方程为；（Ⅱ）设直线的方程：，，线段的中点，将与联立，可得，因为直线与抛物线交与两点，所以，可得或，再表示中点，进而可求线段的中垂线方程，令，可得其在轴的截距，求其值域即可.
试题解析：(1)设，由已知k₁＝时，l方程为
即x＝2y－4．
由得
∴
又∵
∴                                                     5分
由p＞0得∴，即抛物线方程为：．
(2)设l：，BC中点坐标为
由得：①
∴x₀＝＝2k，y₀＝k(x₀＋4)＝2k²＋4k．
∴BC的中垂线方程为y−2k²−4k＝−(x−2k)
∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k²＋4k＋2＝2(k＋1)²
对于方程①由△＝16k²＋64k＞0得：或．
∴                                          12分