题目

题型：模拟题难度：来源：

已知动圆过定点，且与直线相切，其中p＞0，
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹的方程；
（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ（0＜θ＜π）时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。

答案

解：（Ⅰ）如图，设M为动圆圆心，为记为F，
过点M作直线的垂线，垂足为N，
由题意知：|MF|=|MN|，即动点M到定点F与定直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，
所以轨迹方程为；
（Ⅱ）如图，设，
由题意得（否则）且，
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，
显然，
将y=kx+b与联立消去x，得，
由韦达定理知，①
（1）当时，即时，，
所以，，
所以，
由①知：，所以b=2pk，
因此直线AB的方程可表示为y=kx+2pk，即k（x+2p）-y=0，
所以直线AB恒过定点（-2p，0）；
（2）当时，由，
得，
将①式代入上式整理化简可得：，
所以，
此时，直线AB的方程可表示为，
即，
所以直线AB恒过定点；
所以由（1）（2）知，当时，直线AB恒过定点（-2p，0）；
当时直线AB恒过定点。