题目

题型：高考真题难度：来源：

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁、l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁、l₂于A、B两点。已知成等差数列，且与同向。
（1）求双曲线的离心率；
（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程。

答案

解：（1）设双曲线方程为
右焦点为F（c，0）（c>0），则
不妨设l₁：bx-ay=0，l₂：bx+ay=0，
则

因为
所以
于是得
又同向
故
所以
解得（舍去）
因此
所以双曲线的离心率。
（2）由a=2b知，双曲线的方程可化为  ①
由l₁的斜率为知，直线AB的方程为 ②
将②代入①并化简，得
设AB与双曲线的两交点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则
  ③
AB被双曲线所截得的线段长
 ④
将③代入④，并化简得
而由已知l=4，故b=3，a=6
所以双曲线的方程为。