题目

题型：河北省期末题难度：来源：

设直线l：y=2x+1与椭圆相交于A、B两个不同的点且（O为原点），
（Ⅰ）求证：4a²+b²＞1；
（Ⅱ）求证：等于定值；
（Ⅲ）当椭圆离心率e∈时，求椭圆长轴的取值范围。

答案

（Ⅰ）证明：将y=2x+1代入，
消去y得：， ① 
由直线与椭圆相交于两个不同的点可得：
，
所以4a²+b²＞1；
（Ⅱ）解：设A（x₁， y₁）、B（x₂， y₂），
则由①得，
依题意，，
∴，
即，
∴为定值；
（Ⅲ）解：∵，
代入，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴椭圆长轴长的取值范围为。