题目

题型：上海市模拟题难度：来源：

已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且，探究：直线是否过定点，并说明理由.

答案

解：（1）由已知可得 ，                    
所求椭圆方程为．                              
（2）设点，的中点坐标为,
则                                               
由,得，代入上式  ，得                                                
（3）若直线的斜率存在，
设方程为，依题意．
设，，
由 得 ．      
则．                        
由已知，
所以，即．                                
所以，整理得 ．
故直线的方程为，即（）．
所以直线过定点（）．                            
若直线的斜率不存在，
设方程为，
设，，
由已知，得．
此时方程为，显然过点（）．
综上，直线过定点（）．