题目

题型：黑龙江省模拟题难度：来源：

如图，已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，直线（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系。

答案

解：（1）将
整理得，
解方程组得直线所经过的定点为（0，1），
∴b=1，
由离心率，得a=2，
∴椭圆的标准方程为；
（2）设，则，
，
∴，
∴，
∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上。又A（-2，0），∴直线l的方程为，
令x=2，得。
又B（2，0），N为MB的中点，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴直线QN与以AB为直径的圆O相切。